චුල්ල ගණිතයාගේ සටහන් පොත

+ x / -

වර්ගඵලය දෛශිකයක්!

Published by Ganithaya under , , , , , , on 7:07 PM
මගේ මිත්‍රයෙකුට පොතක කවරයක් ඡායාරූපගත කරගන්න ඕන වුනා. පළමු වටයේ දී ගත් ඡායාරූප පෙන්නුවේ විකෘති හැඩ සහිත පොතේ කවරය මිසක් සැබෑවට පොත අතට අරං බැලුවම පේන කවරය නොවෙයි. එහෙන් මෙහෙන් ඇද වෙලා. පස්සේ එයාට පොතට ලම්බකව කැමරාව අල්ලලා පොතේ දාරයට සමාන්තරව ඡායාරූපයේ දාරය පවත්වාගෙන වැ‍ඩේ කරගන්න යැයි මා උපදෙස් දුන්න නිසා වැඩේ හරියට කෙරුනා. මෙතනදී මේ කරපු වැඩේ ගැන පොඩි ගණිත පසුබිමක් තියෙන නිසා ඒක කා එක්කත් බෙදා ගන්න මෙහෙම සටහන් පොතට ඇතුලත් කරන්නට සිතුනා.

පොටෝග්‍රැපි කරන ගො‍ඩක් අය දන්නේ නැහැ වර්ගඵලය දෛශිකයක් කියලා.

දෛශිකයකට[vector] විශාලත්වය[magnitude] ‍වගේම දිශාවකුත් [direction] තියෙනවා. ඒක කවුරුත් වගේ උසස් පෙළ භෞතික විද්‍යාව කරා නම් දන්නවා නේ. ඒත් කවදාවත් උසස් පෙළ පංතියේදී වර්ගඵලය දෛශිකයක් කියල උගන්වන්නේ නැහැ. මොකද ඒක උගන්වන්න අභිසාරීතා ප්‍රමේය කියල උසස් පෙළට වඩා උසස් ගණිත දැනුමක් අවශ්‍ය වෙන නිසා.

අනිත් එක උසස් පෙළ පංතියේදී පීඩනය කියන දේ අර්ථ දක්වන්නේ බලය බෙදීම වර්ගඵලය කියල සහ පීඩනයට දිසාවක් නැතිය කියලයි. ඕනම නම් පරණ සටහන් බලන්න ද්‍රව පීඩනයට අදාලව. ද්‍රවයක් ඇතුලේ ඕනම ලක්ෂ්‍යයක දී සියළු දිශාවන්ට පීඩන අගය සමානය කියල ඔප්පු කිරීමකුත් කරනවා මට මතක හැටියට. ‍

නමුත් දෛශිකයක් යම් කිසි අදෛශිකයකින් බෙදුවම දෛශිකයක් ලැබෙන්නයි ඕන. ඒ කියන්නේ ප්‍රවේගය දෙකෙන් බෙදුවම ලැබෙන්නෙත් ප්‍රවේගයක්. මොකද දෙක කියන්නේ ස්කේලර් [scalar] එකක් නැත්නම් දිශාවක් රහිත වීජ අගයක් පමණක් නිසා.

නමුත් පීඩනය ගණනය කරගන්නේ බලය නැමති දෛශිකය වර්ගඵලයෙන් බෙදලා‍.‍ එහෙම නම් වර්ගඵලය දිශා රහිත දෙයක් නම් පීඩනය ලැබිය යුත්තේ දෛශිකයක් ලෙසයි!

පීඩනය දෛශිකයක් නොවන්නේ වර්ගඵලය දෛශිකයක් වීම නිසයි.

වර්ගඵල දෛශිකයේ දිශාව එම වර්ගඵලයට අභිලම්බ දිශාවයි. ඒකයි රූපවාහිනි තිරයක් නැත්නම් ඡායාරූපයක් දිහා හරියටම බලන්න ඕන නම් එහි අභිලම්බ දිශාවට ඇස තැබිය යුත්තේ. අනෙක් ඕනම දිශාවකට එන්නේ ප්‍රක්ෂේපිත ප්‍රතිබිම්බයක් ඒ කියන්නේ යම් යම් දිශාවලට විරූප වූ ප්‍රතිබිම්බයක්.

දැං සේරම පැහැදිලි නේ?

11 comments:

~yg said... @ March 18, 2010 at 7:27 PM

Would be great if you can use a figure to explain this..I got mixed up in the words..

Ganithaya said... @ March 18, 2010 at 8:13 PM

thanks for the comment, i have added a diagram which shows the area as a bivector [it is called as a bivector for miscellaneous reasons] and the normal vector shown is the direction of the same. so the area has its intrinsic property of being having a direction. will write another blog showing more information in this regard.

Chanaka Aruna Munasinghe said... @ March 19, 2010 at 12:16 AM

දැං සේරම පැහැදිලි නේ?

කෝ නෑනෙ

subtlesl said... @ March 19, 2010 at 12:31 AM

i think you are confusing things. A plane that is not perpendicular to camera looks "distorted" mainly because of perspective which doesn't need or isn't properly explained by your theory. (There are other important matters such as depth of field too.) So your "ගනිත පසුබිම" and claims such as "පොටෝග්‍රැපි කරන ගො‍ඩක් අය දන්නේ නැහැ වර්ගඵලය දෛශිකයක් කියලා." are not relevant to the photographers. They will either use common sense and realize "කෙලින් ගන්න ඕනෙ නම් පොත කෙලින් කරල ගන්න ඕනෙ" or, if he uses *theory*, your theory is *not the correct one* to explain the *perspective distortion* of a slanted plain which is the matter here. Take a photo of a slanted book and see if your calculation explains why outer parallel edge looks shorter than the inner one.

Ganithaya said... @ March 19, 2010 at 12:52 AM

ඔව් මේ අවසානයේ දැක්වෙන ප්‍රතිචාරය සමග මම එකඟයි. මේ ගණිත පසුබිම තේරුම්

කරන්නට එළඹුනේ මගේ අත්දැකීමක් නිසා විතරයි. නැතිව මේ ගණිත පසුබිම නොදැන

සිටීම ඡායාරූපකරණයේ යෙදී ඉන්නා අයට සිදු කරන පාඩුවක් නැහැ.

අනිත් අතට පර්ස්පෙක්ටිව් ‍වීව්ස් ගැන පවා ගණිතමය පසුබිම මේ දෛශික වලට වඩා සංකීර්ණයි. එහිම වඩාත් දිගුවක් ලෙස එම ගණිතය ව්‍යුත්පන්න වෙනවා. එහිදී

ඉන්ෆිනිටි පොයින්ට් ගන්නා ආකාරය අනුව සමාන්තරතාවයේ යථා ස්වරූපය ඩිස්ටෝර්ට්

වීම විචල්‍ය වෙනවා. ස්ටීරියොස්කොපි ක්‍රමයට ඡායාරූප ගන්නා ගුවන් යානා විසින්

පොළවේ සමෝච්ච රේඛා සිතියම්ගත කරන්නේ එම සිද්ධාන්ත ආශ්‍රයෙන්.

මම මේ ස්ටීරියොස්කොපි ඡායාරූපකරණය ගැන කීවේ මිනින්දෝරුවන් විසින් උපයෝගී

කරගන්නා තාක්ෂණික පැත්තෙන් සළකා බලා විනා සාමාන්‍ය කැමරාශිල්පීන් ගැන සිතා

නොවෙයි. ඒ අයට මේ ගණිත පසුබිමෙන් ප්‍රායෝගික ගණනය කිරීම් කරන්නට

සිදුවන්නේ නැහැ යන්න මගේ අදහසයි.

අවසාන වශයෙන් මෙය මගේ සිද්ධාන්තයක් නොවෙයි. ඡායාරූපකරණයේ සහ ඩිජිටල් ත්‍රිමානකරණයේ සියළු අංශවල නොයෙකුත් දෘශ්‍යමය තල නිර්මාණය කරගැනීමට පසුබිම්වන දෛශික ගණිතයේ එක් අවස්ථාවක් පමණයි මේ මා විස්තර කරන්නට යෙදුනේ. මෙම සිද්ධාන්‍තයේම වඩාත් සංකීර්ණ සහ විස්තීර්ණ අවස්ථා විසින් ඔබ සඳහන් කළ සියළු දෘශ්‍ය විකෘතීන් පමණක් නොව ප්‍රක්ෂේපන විධි ක්‍රමද දියුණු කර ඇත.

Ganithaya said... @ March 19, 2010 at 1:51 AM

@subtlesl

if you really interested on the mathematical formulation and proof for the statement you made in your comment about inability of calculate the distortions related to perspective dimensions on plane related to vectorial representation, i can prepare some short and sweet calculation sheet and send to for your perview.

other than that i dont want to perform the proof of vector theory applicable to these nature of calculations to show here of course those will not make any sense to average visitors coming here just to read my simple blogs.

you can send me an email if you are interested in such detail. this is my email id

chullaganitha@googlemail.com

thank you.

subtlesl said... @ March 19, 2010 at 8:17 AM

Thanks, I prefer humble common sense.

For instance, it's much easier to use common sense to see that, for the most pleasing image, the camera's optical axis has to be perpendicular to the *middle of the book*, -not just any point- rather than using vector algebra to show how the barrel distortion of a planer subject works with movement of the optical axis even when "they are" nicely perpendicular. I know one can derive the vector algebra in several pages, but I prefer common sense which even a 15 year kid would understand for this case with a drawing on sand. :)

By the way I liked your post about Gajaman Nona.

Ganithaya said... @ March 19, 2010 at 8:59 AM

i totally agree what you said but my intention was to draw attention in to a matter that most of the photographers or others are not much concern about how does the things really happening, has very interesting mathematical explanations behind them and nobody can say it is useless.

if they really studies [actually those may be highly mathematical] the theoretical backgrounds of what they do with lenses and lights they might get astonished.

as you mentioned the perspectives of visionary substance is very primal studies for the painters at the very first stage of their study as well as to the draftsmen or architects to develop the same in the drawing sheet or canvas has to go through the fundamentals of lines and planes in respect to re-model the nature on plane sheet.

so i am not suggesting all these people has to follow courses in vector algebra or 3d modelling but this is my approach to such situations with highly tamed mathematical tools that will explain things on more exact foundations of Euclidean geometry.

i don't mind either those will make sense to fifteen year old kids or not. this stuff is not really for them.

still i know some very elder people or 15 year old can not understand what is "area" recognised as result of a cross product of two vectors, but it doesn't matter for everyday living.

my intention is not to address people who had committed dead on their pursuance of rational knowledge on perceptual world but for the alive people who are following the clues of nature's secrets.

thank you

වැම්පයර් said... @ August 15, 2010 at 6:50 PM

මං ගණිතය වැඩිදුර හදාරලා නෑ. ඒත් මට නිකං පොඩ්ඩක් අවුල් වගේ...

වර්ගඵලය එන්නේ දිගක් හා දිගක් අතර ගුණිතයෙන්.. (සෘජුකෝනාස්‍රයක් සැලකුවොත්)... අදිශ දෙකක් ඩොට් ප්‍රඩක්ට් වෙලා කොහොමද වෙක්ටර් එකක් එන්නෙ? ඒක තේරෙන්නෙ නෑ..


දෙවනි එක.. ද්‍රවයක් තුල පීඩනය සියලු දිශාවන්ට සමානයි කීමෙන් ඒක ස්කේලර් එකක් කියන්න පුලුවන්ද? උශ්ණත්වය කාලය සියලු දිශාවන්ට සමානයි කියන්නෙ නෑ නෙව. ඒ ඒවා අදිශ නිසා.. ඒත් පීඩනය ඒ වගේද?


පැහැදිලි කරන්න.. තව මූලික ප්‍රස්න ටිකක් තියෙනවා අභිසාරීතා ප්‍රමේය.. එහෙම නැත්නං ගවුස් ප්‍රමේය ගැන. පස්සෙ අහන්නං. මම වෘත්තියෙන් ඉන්ජිනේරුවෙක්...

බ්ලොගය ගොඩක් හොඳයි!

Ganithaya said... @ August 18, 2010 at 8:39 PM

@වෑම්පයර්

"වර්ගඵලය එන්නේ දිගක් හා දිගක් අතර ගුණිතයෙන්.. (සෘජුකෝනාස්‍රයක් සැලකුවොත්)... අදිශ දෙකක් ඩොට් ප්‍රඩක්ට් වෙලා කොහොමද වෙක්ටර් එකක් එන්නෙ? ඒක තේරෙන්නෙ නෑ.."

හොඳයි. දිගක් කියන්නේ දෛශිකයක් ද අදිශයක් ද කියන එක මත ඒ දෙක අතර ගුණිතය ඩොට් ද ‍ක්‍රොස් ද කියන එක තීරණය කරන්න වෙනවා. දෛශික දෙකක් ගුණ කරන්න තියෙන ක්‍රම දෙක තමයි තිත් සහ කතිර එනම් ඩොට් සහ ක්‍රොස් කියන ආකාර දෙක. මේ දැනුම නම් පුතෝ උසස් පෙළ පංතියේ විශය නිර්දේශය ඇතුලේ දැනගත යුතුම මූලික දෛශික දැනුම.

දැං මම ඒ තිත් සහ කතිර ගුණිතවල අර්ථ දැක්වීම්තුත් මෙතන ලියන්නම්‍‍.

a.b=|a|*|b|*cos(a^b)------->A

axb=|a|*|b|*sin(a^b)*n----->B

දැන් මේ පළමු සමීකරණයෙ තියෙන්නේ දෛශික දෙකක් එකිනෙක ගුණ කිරීමෙන් ‍අදෛශික ප්‍රතිඵලයක් ලබා ගන්නා ආකාරයයි. ඉංජිනේරු මහත්තයා ත්‍රිකෝණයකට මේ සූත්‍රය දමලා වර්ගඵලය සොයන්න උත්සාහ කළොත්‍ තේරෙයි එයාකාර වූ තිත් ගුණිතයෙන් එම වර්ගඵල අගය සොයන්නට බැරි බව.

මේ දෙවෙනි සමීකරණයෙන් දැක්වෙන්නේ දෛශික දෙකක ගුණිතයෙන් දෛශිකයක් ප්‍රතිඵල වන්නා වූ ගුණිත ක්‍රමය හෙවත් කතිර ගුණිතය. මෙහි ප්‍රතිඵලයේ දැක්වෙන එන් යනු දෛශිකයකි. එය ගුණිතයේ පළමු සහ දෙවනි දෛශික එකිනෙක මත දක්ශිනාවර්තව ගමන් කිරීමේදී දකුණත් නියමය පිලිපදින දිශාවේ ඒකක දෛශිකයයි.

දිග කියන්නේ දෛශිකයක් ද නැද්ද යන්නට වඩා වැදගත් වන්නේ අප ගුණ කිරීමට භාවිත කරන රාශිය දෛශිකයක් ද නැද්ද යන්නය. සෘජුකෝණාස්‍රයක වර්ගඵලය සොයන්නේ එහි දිග තවත් දිගකින් වැඩි කිරීමෙන් බව සැබෑය. නමුත් ඒ ඩොට් ප්‍රඩක්ට් එක යැයි මා කියා නැත. එය ක්‍රොස් ප්‍රොඩක්ට් එක බව අංශක අනූවේ සයිනයේ අගය එක වීම තුළ ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතය එම ගුණිතය තුළ ඒකක අගයකට ඌණනය වීමෙන් අතුරුදහන් වීම පමණි සිදු වන්නේ. නමුත් ත්‍රිකෝණයක වර්ගඵලයේදී මෙම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාතය නැවත දර්ශනය වන බව ඔබටම පරීක්ෂා කළ හැකිය.

මේ අප කතා කරන්නේ ත්‍රිමාන අවකාශයේ දෛශික ගැන බැවිනි මෙම ත්‍රිකෝණමිතික අනුපාත දෘශ්‍ය ලෙස සමීකරණ තුළ පෙනී සිටින්‍ නේ. එසේ නොවන අවකාශවල දී දෛශික ගුණිතය මීට වඩා න්‍යාස ස්වරූප අත්කර ගනී.

"දෙවනි එක.. ද්‍රවයක් තුල පීඩනය සියලු දිශාවන්ට සමානයි කීමෙන් ඒක ස්කේලර් එකක් කියන්න පුලුවන්ද? උශ්ණත්වය කාලය සියලු දිශාවන්ට සමානයි කියන්නෙ නෑ නෙව. ඒ ඒවා අදිශ නිසා.. ඒත් පීඩනය ඒ වගේද?"

ඔව්. සියළු දිශාවටම කිසියම් රාශියක් අගයක් ගන්නේ නම් හෝ දිශාවෙන් ස්වායත්තව එහි අගය එකතු කිරීම අඩු කිරීම ගුණ කිරීම යනාදී මූලික ගණිතමය ක්‍රියාකාරකම් කළ හැක්කේ නම් එය අදිශයක් බව පැහැදිලිය. ප්‍රවේගය හෝ බලය එහි දිශාව සමග දක්වන සම්බන්ධය නිසාවෙනි එහි සංරචක පවතින්නේ. මේ ගැන උසස් පෙළ දැනුම නැවතත් කියවා ගැනීමෙන් නිරවුල් කරගත හැකිවන බව නොඅනුමානයි.

ද්‍රවයක පීඩනය කිසියම් ලක්ෂ්‍යයකදී සියළු දිශාවලදී එකම අගයක් ගන්නා බැව් ඔප්පු කරන සාධනය උසස් පෙළ විශය නිර්දේශය තුළ වේ. එය වටහා ගැනීම ගණිතමය අභ්‍යාසයකි. නොඑසේ නම් චිත්ත පරීක්ෂණයක් කළ හැකිය. එනම් පීඩනය දෛශිකයක් නම් බැලුමක් පිම්බීමෙදී ලැබිය හැකි ප්‍රතිඵලය පරිකල්පනය කරන්න. එය අදිශයක් වීම මේ ආකාරයෙන් තේරුම් ගැනීමට හැකිය. උෂ්ණත්වයට අගයක් ඇතත් එයට දිශාවක් නැති හෙයින් එය ද අදිශයකි. කාලය අතීත වර්තමාන අනාගත වශයෙන් පැවැත්මේ දිශාවක් ඇති වුවද එය භෞතික රාශියක් වශයෙන් අදිශයකි. නොඑසේ නම් කාලය එකතු කිරීමට සමාන්තරාශ්‍ර ප්‍රමේය භාවිත කරන්නට සිදු වේ.

ඔබගේ හෝම්වර්ක් පිණිස පහත ලින්ක් එක තබා යමි.
http://scubageek.com/articles/wwwhyd.html

Anonymous said... @ June 14, 2012 at 1:12 AM

A/L waladi apita nam wargapalaya daishikayak bawa igannuwa.

Post a Comment

 

Followers