රාමනුජාන් ගේ ටැක්සිකැබ් ඉලක්කම්

සුප්‍රසිද්ධ බ්‍රිතාන්‍ය ජාතික ගණිතඥයෙක් වූ ජී. එච්. හාඩි වරක් ස්වයං අධ්‍යයනයෙන් දීප්තිමත් ගණිතඥයකු වූ ඉන්දියානු ජාතික සිරිනිවාස රාමනුජාන් හමුවීමට පැමිණියේය. හාඩි පැමිණි ටැක්සි රථයේ අංකය වූ 1729 ගැන ඔහු පැවසූයේ කිසිම විශේෂත්වයක් නැති අංකයක් ලෙසය. රාමනුජාන් සැනින් සිනහවක් දක්වා පැවසූයේ එය අතිශය සුවිශේෂී අංකයක් බවයි. එය ඉලක්කම්වල ඝණයන් දෙකක වෙනස් යුගලයන් විසින් එකතුව සපයන කුඩාම අංකය බව මනසින් ගණනය කර පැහැදිලි කරන්නට වූයේය.

1729=1^3+12^3=9^3+10^3

රාමනුජාන්ට මෙවැනි අංක ගණිත මැජික් ක්ෂණිකව පෙන්වා දෙන්නට හැකියාව ඇත්තේ ඔහු‍ගේ ප්‍රියතම මිතුරන් මේ ඉලක්කම් වීම නිසාය. වර්තමානයේ දන්නා පරිදි මෙවැනි ටැක්සිකැබ් ඉලක්කම් යුගලයන් අපරිමිත සංඛ්‍යාවක් ඇත්තේය.

ඒවා සියල්ල

I^3+J^3=K^3+L^3 ආකාර වූ සමීකරණයේ පොදු විසඳුම් ලෙස වටහා ගත හැකිය.

සමහර නූතන ගණිතඥයන් මීටත් වඩා ඉහල ශ්‍රේණිවලට අයත් ටැක්සිකැබ් ඉලක්කම් සොයා ලුහු බැඳ ගොස් ඇත.

ඒ ආකාර වූ සියලුම විචල්‍යයන් පූර්ණ සංඛ්‍යා වූ ‍පහත දැක්වෙන ආකාරයේ ත්‍රිත්ව සමීකරණයක විසඳුම් ලෙස පූර්ණ සංඛ්‍යා ද ඔවුන් සොයා ගෙන ඇත.

I^3+J^3=K^3+L^3=M^3+N^3

එබඳු ආකාරයක අවම එකතුව ලබා ගත හැකි සංඛ්‍ය පද්ධතියක් 1957 දී ජෝන් ලීච් සොයා ගත්තේය.

87539319=167^3+436^3=228^3+423^3=255^3+414^3

A Passion for Mathematics Numbers, Puzzles, Madness, Religion, and the Quest for Reality
CLIFFORD A. PICKOVER කෘතියෙන් උපුටා ගැනුනි.

විංශෝත්තරී දශා කාල ගණනය කරන්නට අලුත් ක්‍රමයක්!

විංශෝත්තරී දශා ක්‍රමයට අනුව ඒ ඒ ග්‍රහයාගේ දශා කාලය නිමානය කළ කිසිදු ක්‍රමයක් ජ්‍යොතිෂයේ සඳහන් නොවේ. එනම් රවිට අවුරුදු 6ක් ද චන්ද්‍රයාට අවුරුදු 10ක් ද කුජට අවුරුදු 7ක් ද රාහුට අවුරුදු 18ක් ද ගුරුට අවුරුදු 16ක් ද ශනි ට අවුරුදු 19ක් ද බුධට අවුරුදු 17ක් ද කේතුට අවුරුදු 7ක් ද සිකුරුට අවුරුදු 20ක් ද ලැබුනේ කෙසේ දැයි කිසිවෙකුත් නොදනී. එම කාල සීමා ජ්‍යොතිෂයේ විංශෝත්තරී දශා ක්‍රමයට වෙන් කරන්නට යෙදුනු කාරණා ගැන කිසිම සටහනක් නොමැති බැවින් එම අගයන් ලබා ගත් ගණිතමය ක්‍රමයක් විස්තර කෙරුමට මම මේ ලිපිය ලියමි.

මවිසින් නිර්මාණය කරන ලද චක්‍ර දෙකක කිසියම් අංක විශේෂයක් පිළිවෙලින් ඒ ඒ ග්‍රහයාට නියත ලෙස අගය ගන්වා පිළිවෙල මතින් එකිනෙක ගුණ කිරීමේ නියමයකට අනුව එම වර්ෂ කාලයන් ලබා ගැනුම මේ ක්‍රමය යි.

උදාහරණ කීපයකින් මෙම චක්‍රය භාවිතයෙන් ඒ ඒ ග්‍රහයාගේ දශා කාලය ගණනය කර ගැනීම දක්වමි.

පළමුවෙන් රවි දශාවේ කාලය වන අවුරුදු 6 මෙම චක්‍රය අනුසාරයෙන් සොයන විදිය බලමු.

රවි දශාවේ කාලය සෙවීමට මෙම චක්‍රයේ අභ්‍යන්තර සංඛ්‍යා පිළිවෙල එහි අංක 1 දැක්වෙන ‍බෙදුම රවි ග්‍රහයාට යොමු කර ඉතිරි අංක පිළිවෙලින් දක්ෂිණාවර්තව සටහන් කරගනු ලැබේ. ඉන්පසු කළ යුත්තේ පිට වෘතයේ ඇති ඉලක්කම් සමග එම අභ්‍යන්තර වෘතයේ ඉලක්කම් ගුණ කොට කේන්ද්‍රය අසල වන ඉඩෙහි ලියා ගැනීමයි. ඊළඟ රූප සහටනේ දැක්වෙන්නේ එම ගුණ කරගත් අගයන් වලින් පුරවා ගත් චක්‍රයයි.

දැන් අභ්‍යන්තර චක්‍රයේ ඇති සියළු සංඛ්‍යාවල වීජීය එකතුව ලබා ගන්න.

20-2+123+8+85+12-154+376-306=162

දැන් මේ අගය 27න් බෙදූ විට රවිට අයත් වර්ෂ ගණන ලැබේ. 162/27=6

දැන් මේ ආකාරයෙන්ම චන්ද්‍රයාට අයත් දශා වර්ෂ ගණන ‍සොයමු. චන්ද්‍රයාට අංක එක ලැබෙන පරිදි කරකවා ගත් අභ්‍යන්තර චක්‍රය පහත දක්වා ඇත.

යළිත් කළ යුත්තේ අභ්‍යන්තර ඉලක්කම් සහ බාහිර ඉලක්කම් ගුණ කොට කේන්ද්‍රය අසල කොටු පුරවා ගැනීමයි. ඉන්පසු එම අගයන් සියල්ලේ වීජීය එකතුව ගෙන 27න් බෙදූ විට චන්ද්‍රයාට අයත් වර්ෂ ගණන ලැබේ.

-1+82+6+68+10-132+329-272+180=270

270/27=10

මේ ආකාරයට ඉතිරි ග්‍රහයන්ගේ දශා ද ගණනය කළ හැකිය.

මෙම චක්‍ර යුගලය කඩදාසියක සටහන් කර කපා ගෙන ඒක කේන්ද්‍රීය ලෙස තබා එකිනෙකට සාපේක්ෂව කරකවා ගැනීමෙන් මෙම පිහිටුම් ලබා ගැනීමද පහසුය. විංශෝත්තරී දශා ගණනය කර ගැනීමේ මෙබඳු ක්‍රමයක් ගැන කිසිම සටහනක් නොමැති බැවින් මෙහි බාහිර චක්‍රයේ ඇති ඉලක්කම් ලබා ගත්තේ සමගාමී සමීකරණ නවයක් විසඳීමෙන් බව මෙම ගණිතය ප්‍රිය කරන අයවලුන්ගේ දැනගැනුම පිණිස සටහන් කරමි.

උනන්දු ඇත්තෝ අදහස් දක්වත්වා!

දෙවියන් කාල උමග තුලින් මතුවී බිල්ගේට් හමු වන්නට ආවේය.

දරුවා මට කියන්න ඔබ හදාපු කෘත්‍රිම හි‍තට කොච්චර සිතුවිලි ප්‍රමාණයක් තත්පරයකට උපදවන්න පුළුවනිද කියා?

මගේ අලුත්ම ප්‍රොසෙසරයට පුළුවන් තත්පරයට සිතුවිලි බිලියන පහක් උපදවන්න. ඔබට එය සිතා ගන්නත් අමාරු වෙයි දෙවියනි.

හොඳයි. ‍මගේ වැඩේට නම් යකඩ කෑලි සිලිකන් කෑලි ඔයා අඹරනවා වගේ අඹරන්න බැහැනේ. මම හදාපු හිතන යන්ත්‍රයට තත්පරයකදි සිතිවිලි සුළුම සුළු ප්‍රමාණයක් පමණයි උපදවන්න පුළුවන්. උපරිම තිහක් විතර...


හහ හා...[මාරක හිනා] ඒක තමයි ඔබතුමා ඔය කුරුම්බැට්ටිය කරකවලා මොනව කරන්නද ඉන්නේ? අපට වැඩේ බාර දුන්නොත් මාර ප්‍රොසෙසරයක් හදල දෙන්නම්. නිකං ඇනෙන්නේ නැතිව ගොඩදාලා දෙන්නම්.

දරුවා. මගේ වැඩේ දැං සීයෙට අනූ නවයක් අහවර කරල තියෙන්නේ. ඔබ කියන විදියට මගේ ගැජට් එකටත් තත්පරයට වැඩ බිලියන ගාණක් බලන්න තියෙනවා. කමක් නෑ. මම මොනව හරි කරගන්නම්. එහෙනම් මම යනවා. බිල් ගේට්...මගේ පිහිටයි.

****

දෙවියන් මිනිසා මවා අවසන් කොට තමන්ගේ දුර්වල කුරුම්බැට්ටි ප්‍රොසෙසරයේ අඩු වේගය සලකා බලා එවැනි කුරුම්බැට්ටි බිලියන සීයක් අළුපාට මේද බවට හරවා හිස් ක‍බලේ පුරවා දැමීය. ජීවත් වන කාලය තුළ දුම් බීමෙන් විනාශ වන කුරුම්බැට්ටි ප්‍රමාණයද සළකා මේ වැඩිපුර ප්‍රමාණය තීරණය කළ බව මැනුවල් එකේ ලියා තිබුනි.

දැං ඒ කුරුම්බැට්ටියට "නියුරෝනය" යැයි කියති. කුරුම්බැට්ටි ජාලයට "මොළය" යැයි කියති.

බිල් ගේට් මිනිස් මොළයට සමාන ප්‍රොසෙසරයක් හදන්නට දෙවියන් යාඥා කරමින් ඉඳියි.

මේක ශ්‍රී ලංකා ඉංජිනේරු ආයතනයේ මාසික සඟරාවේ පළ වූ ගැටළුවක්. ගැටළුව අතිශය රසවත් නිසා බෙදා ගන්න හිතුනා. හැකි අය විසඳලා ඊමේල් කරන්න පිළිතුරු මේ කියල තියෙන ඊමේල් ලිපිනයන් වෙත.

ed@sltnet.lk
ceso@ceb.lk
pottacharlie@gmail.com

සම්පූර්ණ විසඳුම මෙහි පළ කරන්නට බලාපොරොත්තු වන්නේ එම සඟරාවේ ඊළඟ කළාපය නිකුත් වූවාට පසුවයි.

මගේ මිත්‍රයෙකුට පොතක කවරයක් ඡායාරූපගත කරගන්න ඕන වුනා. පළමු වටයේ දී ගත් ඡායාරූප පෙන්නුවේ විකෘති හැඩ සහිත පොතේ කවරය මිසක් සැබෑවට පොත අතට අරං බැලුවම පේන කවරය නොවෙයි. එහෙන් මෙහෙන් ඇද වෙලා. පස්සේ එයාට පොතට ලම්බකව කැමරාව අල්ලලා පොතේ දාරයට සමාන්තරව ඡායාරූපයේ දාරය පවත්වාගෙන වැ‍ඩේ කරගන්න යැයි මා උපදෙස් දුන්න නිසා වැඩේ හරියට කෙරුනා. මෙතනදී මේ කරපු වැඩේ ගැන පොඩි ගණිත පසුබිමක් තියෙන නිසා ඒක කා එක්කත් බෙදා ගන්න මෙහෙම සටහන් පොතට ඇතුලත් කරන්නට සිතුනා.

පොටෝග්‍රැපි කරන ගො‍ඩක් අය දන්නේ නැහැ වර්ගඵලය දෛශිකයක් කියලා.

දෛශිකයකට[vector] විශාලත්වය[magnitude] ‍වගේම දිශාවකුත් [direction] තියෙනවා. ඒක කවුරුත් වගේ උසස් පෙළ භෞතික විද්‍යාව කරා නම් දන්නවා නේ. ඒත් කවදාවත් උසස් පෙළ පංතියේදී වර්ගඵලය දෛශිකයක් කියල උගන්වන්නේ නැහැ. මොකද ඒක උගන්වන්න අභිසාරීතා ප්‍රමේය කියල උසස් පෙළට වඩා උසස් ගණිත දැනුමක් අවශ්‍ය වෙන නිසා.

අනිත් එක උසස් පෙළ පංතියේදී පීඩනය කියන දේ අර්ථ දක්වන්නේ බලය බෙදීම වර්ගඵලය කියල සහ පීඩනයට දිසාවක් නැතිය කියලයි. ඕනම නම් පරණ සටහන් බලන්න ද්‍රව පීඩනයට අදාලව. ද්‍රවයක් ඇතුලේ ඕනම ලක්ෂ්‍යයක දී සියළු දිශාවන්ට පීඩන අගය සමානය කියල ඔප්පු කිරීමකුත් කරනවා මට මතක හැටියට. ‍

නමුත් දෛශිකයක් යම් කිසි අදෛශිකයකින් බෙදුවම දෛශිකයක් ලැබෙන්නයි ඕන. ඒ කියන්නේ ප්‍රවේගය දෙකෙන් බෙදුවම ලැබෙන්නෙත් ප්‍රවේගයක්. මොකද දෙක කියන්නේ ස්කේලර් [scalar] එකක් නැත්නම් දිශාවක් රහිත වීජ අගයක් පමණක් නිසා.

නමුත් පීඩනය ගණනය කරගන්නේ බලය නැමති දෛශිකය වර්ගඵලයෙන් බෙදලා‍.‍ එහෙම නම් වර්ගඵලය දිශා රහිත දෙයක් නම් පීඩනය ලැබිය යුත්තේ දෛශිකයක් ලෙසයි!

පීඩනය දෛශිකයක් නොවන්නේ වර්ගඵලය දෛශිකයක් වීම නිසයි.

වර්ගඵල දෛශිකයේ දිශාව එම වර්ගඵලයට අභිලම්බ දිශාවයි. ඒකයි රූපවාහිනි තිරයක් නැත්නම් ඡායාරූපයක් දිහා හරියටම බලන්න ඕන නම් එහි අභිලම්බ දිශාවට ඇස තැබිය යුත්තේ. අනෙක් ඕනම දිශාවකට එන්නේ ප්‍රක්ෂේපිත ප්‍රතිබිම්බයක් ඒ කියන්නේ යම් යම් දිශාවලට විරූප වූ ප්‍රතිබිම්බයක්.

දැං සේරම පැහැදිලි නේ?

විශ්ව නියමයන් සෑම විටකම ගුප්තය. නොඑසේ නම් අතිශය බුද්ධිමත්ය.

වෘතයක පරිධිය එහි විශ්කම්භයට දරණ අනුපාතය අපට කිසිදා නිවැරදි ලෙස ගණනය කළ නොහැකිය. මන්ද යත් ග්‍රීක පයි අකුරෙන් හකුලා දක්වන 3.141593.... යනාදී වශයෙන් අපරිමිත ලෙස දශමස්ථාන සහිත මෙම අගය කවරදාකවත් සම්පූර්ණයෙන් ගණනය කර ගත නොහැකි වීමයි. තවද මෙම අගය කිසියම් සංඛ්‍යා දෙකක අනුපාතයක් ලෙස දැක්විය හැකි ඉලක්කමක් ද නොවේ. එවැනි සංඛ්‍යාවකට අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් යැයි ව්‍යවහාර වේ.

ඇත්තටම වෘතයක පරිධිය වක්‍රයක ලැකි රේඛීය දිගකි. එය පරිමිත බැව් බැලු බැල්මට පෙනේ.
වෘතයක අරය ද කිසියම් පරිමිත දිගකි. එය ද පරිමිත බැව් බැලු බැල්මට පෙනේ.

එසේ නම් එම දිගවල් අතර අනුපාතය අපරිමේය වූයේ ඇයි?

පයි අගය දශම ස්ථාන මිලියන බිලියන ට්‍රිලියන ප්‍රමාණයක් තෙක් ගණනය කළද එම සංඛ්‍යා මතු වීමේ කිසිදු රටාවක් නොමැත. මෙම ගුණය වර්ගමූල සංඛ්‍ය කෙරෙහිද බල පවත්වයි. මෙසේ සුවිශේෂී ඉලක්කමකට විශ්වයේ ඇති පදඝඨනාත්මක සබැඳියාව කොයි තරම් දුරකට විහිදී යන්නේ ද?

සොබා දහම බොහොමයක් වූ සිය නියමයන් උදෙසා මෙබඳු අපරිමේය අගයක් සඟවා යොදා ගත්තේ ඇයි?

කෙප්ලර්ගේ තුන්වන නියමයේ සිට අයින්ස්ටයින් ගේ සාපේක්ෂාතාවාදී ක්ෂේත්‍ර සමීකරණ දක්වා වූ විවිධ භෞතික ගණිත සමීකරණවල දෘෂ්‍යමාන වන පයි අගය මිනිසා නිර්මාණය කරගත් සියළු දැනුමේ ක්ෂේත්‍රවල අදෘශ්‍යමානව වාසය කරයි.

ක්වොන්ටම් මට්ටමේ දී නම් පූර්ණ සංඛ්‍යා විසින් සිය නීති රීති පෝෂණය කර ගනී.

ඉලෙක්ට්‍රෝනයේ ශක්තිය හෝ කක්ෂීය අරය හෝ තරංග ආයාමය හෝ තීන්දු වන්නේ ධන පූර්ණ සංඛ්‍යා ඔස්සේ බව පරමාණුව පිළිබඳ බෝර් ආකෘතිය පෙන්වා දේ. ශක්තිය ක්වොන්ටීකරණය වන්නේ ෆෝටෝන අංශුවල ගුණාකාරයෙන් වීම ඊට හේතුවයි.

එනමුත් වඩාත් සියුම්ව බැලූ විට එම සියළු ගණිතය තුල ද පයි අගය නිදා සිටියි.



උදාහරණයකට රිඩ්බර්ග් නියතය බලන්න. එහි පයි අගය නිහඩව සිටී. එම රිඩ්බර්ග් නියතය හා සැබැඳි සමීකරණ ‍ඔස්සේ ඉහත දැක්වූ ඉලෙක්ට්‍රෝනයේ භෞතික ගතිගුණ ගණනය කර ගනී.

විශ්වයේ අතිශය කුඩා දේ තුල පූර්ණ සංඛ්‍යා රජ කිරීමටත් පොදුවේ සියල්ල කෙරෙහි අපරිමේය සංඛ්‍යාවක් වූ පයි අගය සැඟවී සිටින්නටත් රහස කුමක් ද?

ඒ රහස කවදා හෝ හෙලි වනතුරු මේ සටහන තබන්නේ මාර්තු 14 වන දින යෙදෙන ලෝක පයි [Pi] දිනය නිමිති කොට ගෙනය.
ලෝක කාන්තා දිනය ගෙවී සතියක් වත් ගෙවී යන්නට මත්තෙන් දැං උදා වන්නේ ලෝක පයි [Pi] දිනයයි.

3/14 Pi දිනය වන්නේ ඇයි දැයි දැන් කීමට අවශ්‍ය ද?