ගීති වෘත්තයේ භේදයන් කෙරෙහි ගණිතයේ බැල්මක්

එලු සඳස් ලකුණේ එන ගී ලකුණු නම් ප්‍රථම අදි‍යරේ අප හඳුනා ගන්නා වූ ප්‍රථම විරිත වන ගීති නම් වූ විරිතේ මූලිකාංග පෙර කොටසින් අවබොධ කර ගත් හෙයින් එම විරිතේම මදක් ගැඹුරට යාම මේ ලිපියේ අරමුණයි.

ගීති වෘත්තයට අනුව සිවුපද කවියක පාද අනුව මාත්‍රා බෙදී යාම 9-11-11-11 ක් වූයෙන් ඒ ඒ පදානුසාරයෙන් ගොඩ නැගෙන භේදයන් කොපමණදැයි සොයා බැලීමෙන් මෙම විරිතේ විවිධාකාරයන් පිළිබඳ අවබෝධයක් ලැබිය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම ගණිතානුකූලව හැදෑරීමට සුදුසු ප්‍රධාන තැනක් ලෙස මෙය හඳුන්වන්නට සුදුසුය.

එලු සඳසට අනුව එම ග්‍රන්ථ ආදී කර්තෘවරැන් විසින් දීර්ඝ ලෙස විදාරණය නොකළ මෙ‍ම භේද ගණනය විස්තරාත්මකව දැක්වීමට උත්සාහ කරමු.

භේදයන් යනු ලඝු ගුරැ මාත්‍රාවන් හි සංයෝජනය පිළිබඳව හැදෑරීමයි.

උදාහරණ ව‍ශයෙන් ශබ්ධ ගොඩනැගිය හැකි ආකාරයන් පිළිබඳ ප්‍රමාණාත්මක විමර්ෂණය භේදයන් හඳුනා ගැනීමයි. මේ සියළු භේදයන් උසුරැවේ දී හෝ උච්චාරණයේදී කණට මිහිරි වන්නේ යැයි ‍මින් අදහස් නොවන බැවින් ශ්‍රැති සුඛය නම් වූ අදහසක් ද මෙහි සලකා බැලේ. ශ්‍රැති සුඛය නම් කණට මිහිරක් ආනන්දයක් දැනෙන්නා වූ ලෙස සංවිධානය වූ ශබ්ධයන් විඳුමය. එනයින් ශ්‍රැති සුඛය අත්හැර විරිතක පැතිරීම ගණනය කර බැලීම එහි පළල් භාවිතය පිළිබඳ අදහසක් ඇති කර ගැනීමට උපකාරී‍ වේ.

ගීති විරිතේ ප්‍රථම පාදයේ මාත්‍රා 9ක් ඇති බැවින් ‍එහි භේද සංඛ්‍යාව 55ක් බව එලු සඳස් ලකුණේ දැක්වේ. එමෙන්ම මාත්‍රා 11ක් ඇති ද්වීතියික පාදයේ භේදයන් ගණන 144ක් ලෙස ද දැක්වේ.

මෙම අගයන් සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි දක්වා ඇත්තේ මාත්‍රා ප්‍රස්ථාර ආශ්‍රයෙන් බව එහි දක්වා ඇතත් එය සොයා ගන්නා ගණිතමය ක්‍රමයක් දක්වා නැත‍. එනයින් ඒ අගයන් සොයා ගන්නා ක්‍රමයක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

කිසියම් ගණිත ක්‍රමයක් ඉස්මතු කර ගැනීමේ අරමුණින් මෙහි ප්‍රථම පාදයේ මාත්‍රා 9 ගුරැ ලඝු ආශ්‍රයෙන් වර නගා බලමු.

1 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+1+1+1+1=9

මෙබඳු ආකාරයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම ලඝු යෙදෙන අවස්ථා ඇත්තේ එකක් පමණක් බැවින් අපට තව සොයා යා යුතු වන්නේ ඉතිරි 54 ය.

2 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+1+1+2=9
1+1+1+1+1+1+2+1=9
1+1+1+1+1+2+1+1=9
1+1+1+1+2+1+1+1=9
1+1+1+2+1+1+1+1=9
1+1+2+1+1+1+1+1=9
1+2+1+1+1+1+1+1=9
2+1+1+1+1+1+1+1=9

මේ ආකාරයට මාත්‍රා 9න් 1ක් ගුරැ වූ විට එය සංයෝජනය වී සාදන විවිධ ආකාර 8ක් ලැබේ.

එය මෙසේ ප්‍රස්ථාරගත නොකර සොයා ගැනීමට කිසියම් තර්‍කයක් නිපදවා ගන්නට අපි තැත් කරමු.

මෙහි ගුරැ මාත්‍රාව චලනය වන්නේ දකුණේ සිට වමට යැයි සැලකුවොත් එය තමන් සිටි තැනින් ක්‍රමාණුකූලව එකක් බැගින් වමට චලනය වන්නේ නම් එහි අවස්ථා ගණන විය යුත්තේ 7කි. තමන් සිටි අවස්ථාව ද ඇතුලත් වූ විට 8කි. ‍නොඑසේ නම් මෙසේ ද තර්‍ක කළ හැකිය.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ සම්පූර්ණ අවයව ගණන 8ක් බැවින් එහි එක් අවයවයක් ලබා ගත හැකි වෙනස් පිහිටුම් ගණන 8කි.

විස්තීර්ණ ගණනයට පෙර මෙලෙස ලඝු සහ ගුරැ සියලු සම්මිෂ්‍රණ අවස්ථාවන් ගණනේ මූලික රෑපයන් සමූහය සාරාංශ කර ගැනීම අපගේ විශ්ලේෂණය පහසු කරවනු ඇත.

සියල්ලෙහි එකතුව 9 වන සේ ගුරැ සහ ලඝු සංයෝජනය වන ආකාර පහත අයුරින් දැක ගත හැකිය.
1 සංයෝජන අවස්ථාව 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 භේද 1
2 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+1+1+2=9 භේද 8
3 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+2+2=9 භේද 21
4 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+2+2+2=9 භේද 20
5 සංයෝජන අවස්ථාව1+2+2+2+2=9 භේද 5

දැං අප කල්පනා කළ යුත්තේ ඊළඟ පියවර ලෙස මෙම සියළු සංයෝජනයන් ගණනය කර ගැනුමට මගක් ය.

3 සංයෝජන අවස්ථාව

මෙහි දී අපට මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරයේ අවයව ගණන 7ක් ලැබේ. එනම් ලඝු අවස්ථා 5ක් සහ ගුරැ අවස්ථා ‍2ක් ව‍ශයෙනි.

දැං අප ගණනය කළ යුත්තේ මෙම ලඝු අවස්ථා 5 සහ ගුරැ අවස්ථා 2ක් සම්බන්ධ වන සියළු ‍එකිනෙකට වෙනස් අවස්ථා සංයෝග ප්‍රමාණය ගණනය කර ගැනීමයි.

තුන්වන අවස්ථාවට අනුව සිදුවිය හැකි භේද ගණන X යැයි සිතමු.

3 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+2+2=9
1+1+1+1+2+1+2=9
1+1+1+2+1+1+2=9
1+1+2+1+1+1+2=9
1+2+1+1+1+1+2=9
2+1+1+1+1+1+2=9

1+1+1+1+2+2+1=9
1+1+1+2+1+2+1=9
1+1+2+1+1+2+1=9
1+2+1+1+1+2+1=9
2+1+1+1+1+2+1=9

1+1+1+2+2+1+1=9
1+1+2+1+2+1+1=9
1+2+1+1+2+1+1=9
2+1+1+1+2+1+1=9

1+1+2+2+1+1+1=9
1+2+1+2+1+1+1=9
2+1+1+2+1+1+1=9

1+2+2+1+1+1+1=9
2+1+2+1+1+1+1=9

2+2+1+1+1+1+1=9 භේද 6+5+4+3+2+1=21

4 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+2+2+2=9
1+1+2+2+2+1=9
1+2+2+2+1+1=9
2+2+2+1+1+1=9

1+1+2+2+1+2=9
1+2+2+1+1+2=9
2+2+1+1+1+2=9

1+2+2+1+2+1=9

2+2+1+1+2+1=9
2+2+1+2+1+1=9

1+1+2+1+2+2=9
1+2+1+1+2+2=9
2+1+1+1+2+2=9

1+2+1+2+1+2=9
1+2+2+1+1+2=9

2+1+1+2+1+2=9
2+1+2+1+1+2=9

1+2+1+2+2+1=9
2+1+1+2+2+1=9
2+1+2+2+1+1=9 භේද 4+3+1+2+3+2+3=20
4+3+3+3+2+2+1=20

මෙය දුෂ්කර කාර්යයක් බව දැං ඉතාම පැහැදිලිය. මෙම ආකාරයේ අවයව ස්ථාන මාරැකර නිර්මාණය කරන අවස්ථාවන් ගණනය කිරීමට ගණිතයේ වෙනම අංශයක්වේ. එය සංකරණ හා සංයෝජන යි.

දැං මේ අපේ ගැටළුව සංකරණ සහ සංයෝජන සිද්ධාන්ත මතින් ගත් විට ඉතාම සරල ගැටළු බවට පත්වේ.

4 වන සංයෝජන අවස්ථාවේ අපට ඇත්තේ ලඝු 3ක් සහ ගුරැ 3ක් සංයෝජනය වන විවිධාකාර ගණනය කිරීම බැවින් එය සංකේතනය කළ ‍හොත් 4 අවස්ථාවට අනුව සිදුවිය හැකි භේද ගණන X යැයි සිතමු.

එම නිසා අවයව 6ක් වන අවස්ථාවේ විය හැකි සියළු ආකාර ගණන ප්‍රථමයෙන් සොයමු. මෙහිදී ලඝු ගුරැ වශයෙන් බේද නොසලකා අවස්ථා සියල්ල සොයමු. අවයව 6ක් පිළිවෙලින් ස්ථාන මාරැ වීමේන් සෑදිය හැකි අවස්ථා සම්පූර්ණ ගණන 6x5x4x3x2x1 වේ.

මෙය ලැබෙන්නේ පළමු අගය තේරීමට අවස්ථා 6ක් ඇති හෙයින් එකක් ප්‍රථම අවස්ථාව ලෙස ගත් විට දෙවන ස්ථානය තේරීමට ඉතිරි වන්නේ 5ක් බැවින් එම අවස්ථාවට ගත හැකි ප්‍රමාණය 5කි. තුන්වන ස්ථානය තේරීමට හැක්කේ ඉතිරි 4න් බැවින් එය 4 අගය ගනී. මෙයාකාරයෙන් සියළු ස්ථාන ක්‍රමයෙන් තේරීමට ඇති අවස්ථා ගණන ක්ෂය වීමෙන් එම සම්පූර්ණ අවස්ථා ගණන සොයා ගැනීමට මේ සියළු අගයන් එකට ගුණනය කළ යුතුය.

ඊළඟට අප කළ යුත්තේ මෙම සමාන අගයන් ඇති අවයව 3 අසමාන යැයි සිතුවොත් ඒ අතර විය හැකි සියළු සංයෝජන සොයා ගැනීමයි. එම අගය නැවත ඉහත ආකාරයටම 3x2x1 ප්‍රමාණයක් වේ.
ඉතිරි අවයව අතර ඇතිවිය හැකි සංයෝජන ගණන ද එයාකාරයෙන්ම ගණනය කළ යුතුය. එය ද 3x2x1 වේ.

දැං අප නොදන්නා ප්‍රමාණය වන X සහ දන්න අගයන් එකට ගුණ කළ විට ලැබිය යුත්තේ අවයව 6න් සෑදෙන සියළු සංයෝජන සංඛ්‍යාවයි.

6x5x4x3x2x1=(3x2x1)x(3x2x1)xX

X=(6x5x4x3x2x1)/((3x2x1)x(3x2x1))

X=20

එම නිසා මේ අගය ක්‍රමාරෝපිත( n! ) 6!=6x5x4x3x2x1 යනාදී වශයෙන් එම අංකනයෙන් ලියා තැබුව හොත් මෙයාකාරය.

6C3=6!/(3!)*((6-3)!)

Factorial හෙවත් ක්‍රමාරෝපිතය ( n! ) ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය.

n!=nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4)x(n-5)x(n-6)x......x4x3x2x1

nCr=n!/(r!*(n-r)!) මේ සංයෝජන ගණනය කරනු ලබන්නා වූ සූත්‍රයයි. මෙය ඉහත ආකාරයෙන්ම තර්‍ක කර ව්‍යුත්පන්න කරගත හැකිය. n සංඛ්‍යාවක් වූ අවයව අතරින් r සංඛ්‍යාවක් තෝරා වෙන් කරගත හැකි ආකාර ගණන එම පිළිතුරයි.

තුන්වෙනුව අසමාන යැයි අප විසින් උපකල්පනය කළ අවයව අතර සිදුවිය හැකි සියළු සංයෝජන ප්‍රමාණය ගණනය කරමු.

දැං මාත්‍රා9 ක් ඇති සංයෝජන ගණන ලඝු ගුරැ වශයෙන් සෙවීම පහත අයුරින් කළ හැකි වේ.

1 සංයෝජන අවස්ථාව 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 භේද 9C9
2 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+1+1+2=9 භේද 8C1
3 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+2+2=9 භේද 7C2
4 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+2+2+2=9 භේද 6C3
5 සංයෝජන අවස්ථාව1+2+2+2+2=9 භේද 5C4

මාත්‍රා 9 භේද සංඛ්‍යාව =9C9+8C1+7C2+6C3+5C4
= 9!/(9!*0!)+8!/(1!*7!)+7!/(2!*5!)+6!/(3!*3!)+5!/(4!*1!)
= 1+8+21+20+5
=55

මේ අනුව මාත්‍රා 9ක් ඇති පදයක ශ්‍රව්‍ය සුඛය‍ හෝ ශ්‍රැත සුඛය නොසලකා නිර්මාණය වී හැකියාව 55 කි.

මාත්‍රා 11ක් ඇති විටෙක සිදුවිය හැකි සියළු භේදයන් ගණනය කිරීමට ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමු.

මාත්‍රා 11භේද සංඛ්‍යාව =11C11+10C1+9C2+8C3+7C4+6C5
=1+10+36+56+35+6
=144


මේ අනුව පළමු පදයේ විය හැකි සියළුම භේද ගණන 55x144=7920

දැං අපට පුළුවන් දෙවන පදයේ සියළුම භේද සංඛ්‍යව ගණනය කරන්නත්.

එය 144x144=20736

මේ ආකාරයට ගීති විරිතේ පද 4න්ම ගොඩනැගෙන භේද ගණන

55x144x144x144=164229120


1642,29,120 මෙය දහසය කෝටි හතලිස් දෙලක්ෂ විසිනව දහස් එකසිය විස්සකි.

එලු සඳස් ලකුණේ දක්වා ඇත්තේ දෙකෝටි විසිලක්ෂ හතලිස් නවදහස් එකසිය විස්සක් ලෙසින් වැරදියටය!

[එනමුදු එලු සඳස් ලකුණේ කතෘන්ට මෙම ඉලක්කම වැරදී ඇතැයි සිතන්නට ඇති හැකියාව ඉතාම අඩුය. මෙය තව දුරටත් විමර්ෂණයට ලක් විය යුත්තකි.]

ලිපිය ඉදිරියට ඇදේ...