චුල්ල ගණිතයාගේ සටහන් පොත

+ x / -

ගීති වෘත්තයේ භේදයන් කෙරෙහි ගණිතයේ බැල්මක්

Published by Ganithaya under on 8:14 PM

එලු සඳස් ලකුණේ එන ගී ලකුණු නම් ප්‍රථම අදි‍යරේ අප හඳුනා ගන්නා වූ ප්‍රථම විරිත වන ගීති නම් වූ විරිතේ මූලිකාංග පෙර කොටසින් අවබොධ කර ගත් හෙයින් එම විරිතේම මදක් ගැඹුරට යාම මේ ලිපියේ අරමුණයි.

ගීති වෘත්තයට අනුව සිවුපද කවියක පාද අනුව මාත්‍රා බෙදී යාම 9-11-11-11 ක් වූයෙන් ඒ ඒ පදානුසාරයෙන් ගොඩ නැගෙන භේදයන් කොපමණදැයි සොයා බැලීමෙන් මෙම විරිතේ විවිධාකාරයන් පිළිබඳ අවබෝධයක් ලැබිය හැක. ඇත්ත වශයෙන්ම ගණිතානුකූලව හැදෑරීමට සුදුසු ප්‍රධාන තැනක් ලෙස මෙය හඳුන්වන්නට සුදුසුය.

එලු සඳසට අනුව එම ග්‍රන්ථ ආදී කර්තෘවරැන් විසින් දීර්ඝ ලෙස විදාරණය නොකළ මෙ‍ම භේද ගණනය විස්තරාත්මකව දැක්වීමට උත්සාහ කරමු.

භේදයන් යනු ලඝු ගුරැ මාත්‍රාවන් හි සංයෝජනය පිළිබඳව හැදෑරීමයි.

උදාහරණ ව‍ශයෙන් ශබ්ධ ගොඩනැගිය හැකි ආකාරයන් පිළිබඳ ප්‍රමාණාත්මක විමර්ෂණය භේදයන් හඳුනා ගැනීමයි. මේ සියළු භේදයන් උසුරැවේ දී හෝ උච්චාරණයේදී කණට මිහිරි වන්නේ යැයි ‍මින් අදහස් නොවන බැවින් ශ්‍රැති සුඛය නම් වූ අදහසක් ද මෙහි සලකා බැලේ. ශ්‍රැති සුඛය නම් කණට මිහිරක් ආනන්දයක් දැනෙන්නා වූ ලෙස සංවිධානය වූ ශබ්ධයන් විඳුමය. එනයින් ශ්‍රැති සුඛය අත්හැර විරිතක පැතිරීම ගණනය කර බැලීම එහි පළල් භාවිතය පිළිබඳ අදහසක් ඇති කර ගැනීමට උපකාරී‍ වේ.

ගීති විරිතේ ප්‍රථම පාදයේ මාත්‍රා 9ක් ඇති බැවින් ‍එහි භේද සංඛ්‍යාව 55ක් බව එලු සඳස් ලකුණේ දැක්වේ. එමෙන්ම මාත්‍රා 11ක් ඇති ද්වීතියික පාදයේ භේදයන් ගණන 144ක් ලෙස ද දැක්වේ.

මෙම අගයන් සොයා ගන්නේ කෙසේදැයි දක්වා ඇත්තේ මාත්‍රා ප්‍රස්ථාර ආශ්‍රයෙන් බව එහි දක්වා ඇතත් එය සොයා ගන්නා ගණිතමය ක්‍රමයක් දක්වා නැත‍. එනයින් ඒ අගයන් සොයා ගන්නා ක්‍රමයක් සාකච්ඡා කළ යුතුය.

කිසියම් ගණිත ක්‍රමයක් ඉස්මතු කර ගැනීමේ අරමුණින් මෙහි ප්‍රථම පාදයේ මාත්‍රා 9 ගුරැ ලඝු ආශ්‍රයෙන් වර නගා බලමු.

1 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+1+1+1+1=9

මෙබඳු ආකාරයෙන් සම්පූර්ණයෙන්ම ලඝු යෙදෙන අවස්ථා ඇත්තේ එකක් පමණක් බැවින් අපට තව සොයා යා යුතු වන්නේ ඉතිරි 54 ය.

2 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+1+1+2=9
1+1+1+1+1+1+2+1=9
1+1+1+1+1+2+1+1=9
1+1+1+1+2+1+1+1=9
1+1+1+2+1+1+1+1=9
1+1+2+1+1+1+1+1=9
1+2+1+1+1+1+1+1=9
2+1+1+1+1+1+1+1=9

මේ ආකාරයට මාත්‍රා 9න් 1ක් ගුරැ වූ විට එය සංයෝජනය වී සාදන විවිධ ආකාර 8ක් ලැබේ.

එය මෙසේ ප්‍රස්ථාරගත නොකර සොයා ගැනීමට කිසියම් තර්‍කයක් නිපදවා ගන්නට අපි තැත් කරමු.

මෙහි ගුරැ මාත්‍රාව චලනය වන්නේ දකුණේ සිට වමට යැයි සැලකුවොත් එය තමන් සිටි තැනින් ක්‍රමාණුකූලව එකක් බැගින් වමට චලනය වන්නේ නම් එහි අවස්ථා ගණන විය යුත්තේ 7කි. තමන් සිටි අවස්ථාව ද ඇතුලත් වූ විට 8කි. ‍නොඑසේ නම් මෙසේ ද තර්‍ක කළ හැකිය.

මෙම ප්‍රස්ථාරයේ සම්පූර්ණ අවයව ගණන 8ක් බැවින් එහි එක් අවයවයක් ලබා ගත හැකි වෙනස් පිහිටුම් ගණන 8කි.

විස්තීර්ණ ගණනයට පෙර මෙලෙස ලඝු සහ ගුරැ සියලු සම්මිෂ්‍රණ අවස්ථාවන් ගණනේ මූලික රෑපයන් සමූහය සාරාංශ කර ගැනීම අපගේ විශ්ලේෂණය පහසු කරවනු ඇත.

සියල්ලෙහි එකතුව 9 වන සේ ගුරැ සහ ලඝු සංයෝජනය වන ආකාර පහත අයුරින් දැක ගත හැකිය.
1 සංයෝජන අවස්ථාව 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 භේද 1
2 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+1+1+2=9 භේද 8
3 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+2+2=9 භේද 21
4 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+2+2+2=9 භේද 20
5 සංයෝජන අවස්ථාව1+2+2+2+2=9 භේද 5

දැං අප කල්පනා කළ යුත්තේ ඊළඟ පියවර ලෙස මෙම සියළු සංයෝජනයන් ගණනය කර ගැනුමට මගක් ය.

3 සංයෝජන අවස්ථාව

මෙහි දී අපට මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරයේ අවයව ගණන 7ක් ලැබේ. එනම් ලඝු අවස්ථා 5ක් සහ ගුරැ අවස්ථා ‍2ක් ව‍ශයෙනි.

දැං අප ගණනය කළ යුත්තේ මෙම ලඝු අවස්ථා 5 සහ ගුරැ අවස්ථා 2ක් සම්බන්ධ වන සියළු ‍එකිනෙකට වෙනස් අවස්ථා සංයෝග ප්‍රමාණය ගණනය කර ගැනීමයි.

තුන්වන අවස්ථාවට අනුව සිදුවිය හැකි භේද ගණන X යැයි සිතමු.

3 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+1+1+2+2=9
1+1+1+1+2+1+2=9
1+1+1+2+1+1+2=9
1+1+2+1+1+1+2=9
1+2+1+1+1+1+2=9
2+1+1+1+1+1+2=9

1+1+1+1+2+2+1=9
1+1+1+2+1+2+1=9
1+1+2+1+1+2+1=9
1+2+1+1+1+2+1=9
2+1+1+1+1+2+1=9

1+1+1+2+2+1+1=9
1+1+2+1+2+1+1=9
1+2+1+1+2+1+1=9
2+1+1+1+2+1+1=9

1+1+2+2+1+1+1=9
1+2+1+2+1+1+1=9
2+1+1+2+1+1+1=9

1+2+2+1+1+1+1=9
2+1+2+1+1+1+1=9

2+2+1+1+1+1+1=9 භේද 6+5+4+3+2+1=21

4 සංයෝජන අවස්ථාව

1+1+1+2+2+2=9
1+1+2+2+2+1=9
1+2+2+2+1+1=9
2+2+2+1+1+1=9

1+1+2+2+1+2=9
1+2+2+1+1+2=9
2+2+1+1+1+2=9

1+2+2+1+2+1=9

2+2+1+1+2+1=9
2+2+1+2+1+1=9

1+1+2+1+2+2=9
1+2+1+1+2+2=9
2+1+1+1+2+2=9

1+2+1+2+1+2=9
1+2+2+1+1+2=9

2+1+1+2+1+2=9
2+1+2+1+1+2=9

1+2+1+2+2+1=9
2+1+1+2+2+1=9
2+1+2+2+1+1=9 භේද 4+3+1+2+3+2+3=20
4+3+3+3+2+2+1=20

මෙය දුෂ්කර කාර්යයක් බව දැං ඉතාම පැහැදිලිය. මෙම ආකාරයේ අවයව ස්ථාන මාරැකර නිර්මාණය කරන අවස්ථාවන් ගණනය කිරීමට ගණිතයේ වෙනම අංශයක්වේ. එය සංකරණ හා සංයෝජන යි.

දැං මේ අපේ ගැටළුව සංකරණ සහ සංයෝජන සිද්ධාන්ත මතින් ගත් විට ඉතාම සරල ගැටළු බවට පත්වේ.

4 වන සංයෝජන අවස්ථාවේ අපට ඇත්තේ ලඝු 3ක් සහ ගුරැ 3ක් සංයෝජනය වන විවිධාකාර ගණනය කිරීම බැවින් එය සංකේතනය කළ ‍හොත් 4 අවස්ථාවට අනුව සිදුවිය හැකි භේද ගණන X යැයි සිතමු.

එම නිසා අවයව 6ක් වන අවස්ථාවේ විය හැකි සියළු ආකාර ගණන ප්‍රථමයෙන් සොයමු. මෙහිදී ලඝු ගුරැ වශයෙන් බේද නොසලකා අවස්ථා සියල්ල සොයමු. අවයව 6ක් පිළිවෙලින් ස්ථාන මාරැ වීමේන් සෑදිය හැකි අවස්ථා සම්පූර්ණ ගණන 6x5x4x3x2x1 වේ.

මෙය ලැබෙන්නේ පළමු අගය තේරීමට අවස්ථා 6ක් ඇති හෙයින් එකක් ප්‍රථම අවස්ථාව ලෙස ගත් විට දෙවන ස්ථානය තේරීමට ඉතිරි වන්නේ 5ක් බැවින් එම අවස්ථාවට ගත හැකි ප්‍රමාණය 5කි. තුන්වන ස්ථානය තේරීමට හැක්කේ ඉතිරි 4න් බැවින් එය 4 අගය ගනී. මෙයාකාරයෙන් සියළු ස්ථාන ක්‍රමයෙන් තේරීමට ඇති අවස්ථා ගණන ක්ෂය වීමෙන් එම සම්පූර්ණ අවස්ථා ගණන සොයා ගැනීමට මේ සියළු අගයන් එකට ගුණනය කළ යුතුය.

ඊළඟට අප කළ යුත්තේ මෙම සමාන අගයන් ඇති අවයව 3 අසමාන යැයි සිතුවොත් ඒ අතර විය හැකි සියළු සංයෝජන සොයා ගැනීමයි. එම අගය නැවත ඉහත ආකාරයටම 3x2x1 ප්‍රමාණයක් වේ.
ඉතිරි අවයව අතර ඇතිවිය හැකි සංයෝජන ගණන ද එයාකාරයෙන්ම ගණනය කළ යුතුය. එය ද 3x2x1 වේ.

දැං අප නොදන්නා ප්‍රමාණය වන X සහ දන්න අගයන් එකට ගුණ කළ විට ලැබිය යුත්තේ අවයව 6න් සෑදෙන සියළු සංයෝජන සංඛ්‍යාවයි.

6x5x4x3x2x1=(3x2x1)x(3x2x1)xX

X=(6x5x4x3x2x1)/((3x2x1)x(3x2x1))

X=20

එම නිසා මේ අගය ක්‍රමාරෝපිත( n! ) 6!=6x5x4x3x2x1 යනාදී වශයෙන් එම අංකනයෙන් ලියා තැබුව හොත් මෙයාකාරය.

6C3=6!/(3!)*((6-3)!)

Factorial හෙවත් ක්‍රමාරෝපිතය ( n! ) ගණනය කිරීමේ සූත්‍රය.

n!=nx(n-1)x(n-2)x(n-3)x(n-4)x(n-5)x(n-6)x......x4x3x2x1

nCr=n!/(r!*(n-r)!) මේ සංයෝජන ගණනය කරනු ලබන්නා වූ සූත්‍රයයි. මෙය ඉහත ආකාරයෙන්ම තර්‍ක කර ව්‍යුත්පන්න කරගත හැකිය. n සංඛ්‍යාවක් වූ අවයව අතරින් r සංඛ්‍යාවක් තෝරා වෙන් කරගත හැකි ආකාර ගණන එම පිළිතුරයි.

තුන්වෙනුව අසමාන යැයි අප විසින් උපකල්පනය කළ අවයව අතර සිදුවිය හැකි සියළු සංයෝජන ප්‍රමාණය ගණනය කරමු.

දැං මාත්‍රා9 ක් ඇති සංයෝජන ගණන ලඝු ගුරැ වශයෙන් සෙවීම පහත අයුරින් කළ හැකි වේ.

1 සංයෝජන අවස්ථාව 1+1+1+1+1+1+1+1+1=9 භේද 9C9
2 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+1+1+2=9 භේද 8C1
3 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+1+1+2+2=9 භේද 7C2
4 සංයෝජන අවස්ථාව1+1+1+2+2+2=9 භේද 6C3
5 සංයෝජන අවස්ථාව1+2+2+2+2=9 භේද 5C4

මාත්‍රා 9 භේද සංඛ්‍යාව =9C9+8C1+7C2+6C3+5C4
= 9!/(9!*0!)+8!/(1!*7!)+7!/(2!*5!)+6!/(3!*3!)+5!/(4!*1!)
= 1+8+21+20+5
=55

මේ අනුව මාත්‍රා 9ක් ඇති පදයක ශ්‍රව්‍ය සුඛය‍ හෝ ශ්‍රැත සුඛය නොසලකා නිර්මාණය වී හැකියාව 55 කි.

මාත්‍රා 11ක් ඇති විටෙක සිදුවිය හැකි සියළු භේදයන් ගණනය කිරීමට ඉහත සූත්‍රය භාවිතා කරමු.

මාත්‍රා 11භේද සංඛ්‍යාව =11C11+10C1+9C2+8C3+7C4+6C5
=1+10+36+56+35+6
=144


මේ අනුව පළමු පදයේ විය හැකි සියළුම භේද ගණන 55x144=7920

දැං අපට පුළුවන් දෙවන පදයේ සියළුම භේද සංඛ්‍යව ගණනය කරන්නත්.

එය 144x144=20736

මේ ආකාරයට ගීති විරිතේ පද 4න්ම ගොඩනැගෙන භේද ගණන

55x144x144x144=164229120


1642,29,120 මෙය දහසය කෝටි හතලිස් දෙලක්ෂ විසිනව දහස් එකසිය විස්සකි.

එලු සඳස් ලකුණේ දක්වා ඇත්තේ දෙකෝටි විසිලක්ෂ හතලිස් නවදහස් එකසිය විස්සක් ලෙසින් වැරදියටය!

[එනමුදු එලු සඳස් ලකුණේ කතෘන්ට මෙම ඉලක්කම වැරදී ඇතැයි සිතන්නට ඇති හැකියාව ඉතාම අඩුය. මෙය තව දුරටත් විමර්ෂණයට ලක් විය යුත්තකි.]

ලිපිය ඉදිරියට ඇදේ...

එලු සඳස් ලකුණ සහ ගණිතය

Published by Ganithaya under on 11:05 PM

එලු සඳස් ලකුණ සහ ගණිතය

මේ ලියන්නට යන්නේ සිංහල භාෂාවෙන් කාව්‍යකරණයේ මුල් පොත වන එලු සඳස් ලකුණේ සඳහන් වන ඡන්දස් ශාස්ත්‍රීය හෙවත් මාත්‍රා ගණිතයේ මූලික සිද්ධාන්ත කීපයක් ගැනය. මා මේ ශබ්ධ විද්‍යාවේ පරිණතයකු නොවන බැවින් මෙහි අඩුපාඩු දොස් වෙතොත් කමත්වා. එම තැන් මට පෙන්වා දී නිදොස් කරත්වා යන ආඩාපාලියෙන් මෙම ලියවිල්ල අරඹමි.
මෙම කාව්‍යකරණයේ සිද්ධාන්ත කේන්ද්‍රීය වන්නේ සිවුපද ආකෘතියට අනුගතවය. එම සිවුපද ආකෘතිය සිංහල කාව්‍යකරණයේ මූලික ආකෘතිය ලෙස චිරාත් කාලයක පටන් පිළිගැන්මට හේතුව අපගේ ශාස්ත්‍රීය ලේඛනයට බලපෑ ඉන්දියානු සංස්කෘත පසුබිම යැයි අපට වටහා ගත හැකිය.

ශබ්ධ ශාස්ත්‍රය භාෂාව අනුව වෙනස් වේ. සංස්කෘත භාෂාවේ ඡන්දස් ශාස්ත්‍රය එම භාෂාවට අනුවය. එමෙන්ම වෙනත් භාෂාවක ඡන්දස් ශාස්ත්‍රය ද එම භාෂාවේ උසුරැවීම් සහසම්බන්ධ බැවින් සිංහල භාෂාවේ ඡන්දස් ශාස්ත්‍ර නියමයන් සිංහල උච්චාරණය හා සබැඳේ. එනයිනි එය එලු සඳැස් ලකුණ ලෙස වහරන්නේ යැයි මට සිතේ.

එලු සඳැස් ලකුණ පොතේ සඳහන් වන ආකාරයට ශබ්ධයක් උසුරැවන කාල ක්ෂණයේ කුඩාම ඒකකය මාත්‍රාවකි. මාත්‍රාවක් යනු ඇසි පිල්ලමක් හෙලීමට ගත වන කාලයේ උසුරැවන ශබ්ධ කොටසක් ය.

එම මාත්‍රාවක් අංකනය කරන්නේ ඒකක අගයකිනි.
මාත්‍රාවක් =1.

මාත්‍රා දෙකක් එක් වූ විට ගුරැ ලෙස ද එක මාත්‍රාවකට ලඝු නැතහොත් ලුහු ලෙස ද අර්ථ දැක්වේ.

යන්න සැදෙන්නේ ක්+අ බැවින් ක් යන ශබ්ධය අර්ධ මාත්‍රාවකින් යුක්තව ද යන්න ඒකක මාත්‍රාවකින් යුක්ත වූ ද බැවින් මෙහි මාත්‍රා එකහමාරක් වුව ද එය සලකන්නේ එක මාත්‍රාවක් ලෙස බැවින් ලඝු වේ.
කා යන්නට ක්+ආ යන්න සංයෝජනය වන බැවින් ක් යන ශබ්ධය අර්ධ මාත්‍රාවකින් යුක්තව ද යන්න මාත්‍රා දෙකකින් යුතු බැවින් කා යන ශබ්ධව ගුරැ වේ. එහි ද මාත්‍රා දෙකහමාරක් වුවද එය මාත්‍රා දෙකක් ලෙස ගනී.

එමෙන්ම හල් වන ශබ්ධය ද ඊට පූර්වයෙන් යුතු අක්ෂරය සමග එකට ගෙන ගුරැ ලෙස ගනී. උදාහරණයක් මගින් එය පැහැදිලි කරගත යුතුය.


කිසියම් වචනයක හෝ වැකියක හෝ කවි පදයක මාත්‍රා සියල්ල ඉහත ආකාරයට ශ්‍රේණියකට ලියා තැබීම මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරය යි.

එනම් මුනිදුන් යන වචනයේ මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරය මේ ආකාර ගනී.

මුනිදුන්
1-1-2


මෙහි මු ලඝු ලෙස ද නි ලඝු ලෙස ද දුන් යන්න එකක් ලෙස ගෙන ගුරැ ලෙසත් ගනී. එනම් මාත්‍රා 2න් යුත් ලෙස එය මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරයට ගනී.

දැන් අපි සිවු පද කවියක අංග හඳුනා ගනිමු.

කවියක විෂම පාද නම් පළමුවැනි සහ තුන්වැනි පාදයි. පූර්වාර්ධය නම් පළමුවැනි සහ දෙවැනි පාද දෙකයි. අපරාර්ධය යනු තුන්වන සහ සිව්වන පද දෙකයි.

දැන් අපි එලු සඳස් ලකුණේ එන පළමුවන විරිත අර්ථ දක්වන කවියත් එහි පදරැත් විසඳා එහි න්‍යායත් වටහා ගන්නට උත්සාහ කරමු. එලු සඳස් ලකුණේ සියලු උපදෙස් සංග්‍රහ කර ඇත්තේ සිවු පද කවි වලින් බැවින් ඒවා ලිහා තෝරා ගැනීම ද සියුම්ව කළ යුතු වේ.

නෙවෙන් ඇරින් වසමැ-යති පෙර අඩෙහි විසිමත්
පසඩෙහි දෙවිසිමත් වෙද-ගී ලකුණු වේ හෙ මෙසේ

ගී ලකුණු
8 වැනි කවිය


මේ කවියෙන් දැක්වෙන්නේ ගීති නම් වූ විරිතෙහි මාත්‍රා නියමය යි. ඒ අනුව විෂම පාදයන්හි මාත්‍රා 9 සහ 11 බැගින් සහ පූර්වාර්ධයෙහි

මාත්‍රා 20 කි. ඉන් මාත්‍රා 9ක් ප්‍රථම පාදයට බෙදේ. ඉතිරි 11 දෙවැනි පාදයට ය.
පශ්චිමාර්ධයෙහි මාත්‍රා 22 කි. තෙවන පාදයෙහි මාත්‍රා 11ක් බැවින් චතුර්ථ පාදයට මාත්‍රා 11 කි.
දැන් මාත්‍රා සටහන පහත ආකාර ගනී.

9 =111111111
11=11111111111
11=11111111111
11=11111111111

මෙහි පෙන්වා ඇත්තේ ලඝු වශයෙන් පමණි. මේවා ලඝු ගුරැ සංයෝජනයන් විය හැකිය.

9 =11111112
11=111111122
11=111112112
11=111111122

යනාදී වශයෙන් ඕනෑම රටාවක් විය හැකිය. නමුත් සම්පූර්ණ මාත්‍රා ගණන 9+11+11+11=42 ක් විය යුතුය. එමෙන්ම ගීති විරිතට අනුව

නම් පිලිවෙල ද 9-11-11-11 ලෙස ද විය යුතුය.


දැන් අප‍ට මාත්‍රා බෙදෙන ආකාරය ගැන දළ අවබෝධයක් ඇති හෙයින් උදාහරණ කවියකට ගොස් මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරය නිර්මාණය කර බලමු.


පෙර මග බලා අප - නියැලුනු සේ කිය කියා
තොප මෙතුනු දවස දවස -ගිය ‍රටෙහි සේ සේ වේ


පහත දැක්වෙන්නේ කවියක් සහ එහි මාත්‍රා ප්‍රස්ථාරය යි.

පෙර මග බලා අප
11 11 12 11=9
නියැලුනු සේ කිය කියා
1111 2 11 12=11
තොප මෙතුනු දවස දවස
11 111 111 111=11
ගිය ‍රටෙහි සේ සේ වේ
11 111 2 2 2=11


ලිපිය ඉදිරියට ඇ‍දේ...

ගාණට වැඩි නම් මෙන්න විසඳුම්...

Published by Ganithaya under on 9:10 PM

දාහට අඩු ඉලක්කමක් හිතා ගන්න කියලා ඔව් නෑ ආකාරයට දෙන උත්තර අනුව එම සංඛ්‍යාව නිවැරදිව ප්‍රශ්න දහයක් ඇසීමෙන් කියන ක්‍රමය අද මම මෙහි විස්තර කරනවා.

ඉස්සෙල්ලම අපි මේකෙ ඇත්ත ක්‍රියාකාරිත්වය කුමක් ද කියල සොයා බලමු.

ඔව් නෑ කියන අන්ත දෙක භාවිතා කරන බයිනරි හෙවත් ද්විමය සංඛ්‍යා භාවිතය මෙහි පසුබිමයි. එබැවින් දෙකේ දහවෙනි බලය දක්වා වූ සංඛ්‍යා මේ ආකාරයෙන් ස්ථානගත කරගන්නට පුළුවන් ඉතාම පහසුවෙන්.

මුලින්ම අප කළ යුත්තේ දාහේ අර්ධයට වඩා සිතු සංඛ්‍යාව විශාලද නැද්ද යන්න දැන ගැනීමයි.
500ට වඩා වැඩි නම් අප කළ යුත්තේ ඉතිරි ප්‍රමාණය වන 500න් අර්ධයක් මුල් අගයට එකතු කර ගැනීමයි.
500ට අඩු නම් කළ යුත්තේ 500න් අර්ධයක් එනම් 250ක් මුල් අගයෙන් අඩු කිරීමයි.

දැන් අප පරීක්ෂා කළ යුත්තේ 750 හෝ [ මෙය ඉහත අවස්ථාවේ 500ට අඩු වූ අවස්ථාවයි එනම් 250] ට වඩා සිතා ගත් සංඛ්‍යාව විශාල ද නැද්ද යන්නය. 750 ට වැඩි නම් කළ යුත්තේ ඉතිරි 250න් අර්ධයක් නැවත මුල් අගයට එකතු කර ගැනීමයි. එනම් දෙවෙනි ප්‍රශ්නයට අදාල අගය වන 750+125=875 ට වඩා වැඩි ද අඩු ද යන්න පරීක්ෂා කිරීමයි.

එම ආකාරයේම දෙවැනි අවස්ථාව සැලකුවොත් 250ට එකතු කළ යුත්තේ ද 125කි.

වඩා සරලව වගු ගත කළ සටහන් කීපයකින් මෙම ක්‍රියාදාමය මම පහත දක්වමි.

සොයන සංඛ්‍යාව 667

වාරය මුල් අගය අර්ධය + අර්ධය - ඔව් /නෑ
1 500 250 -250 y 250
2 750 125 -125 n -125
3 625 62 -62 y 62
4 687 31 -31 n -31
5 656 16 -16 y 16
6 672 8 -8 n -8
7 664 4 -4 y 4
8 668 2 -2 n -2
9 666 1 -1 y 1
10 667 0 0 n 0

සොයන සංඛ්‍යාව 999

වාරය මුල් අගය අර්ධය + අර්ධය - ඔව් /නෑ
1 500 250 -250 y 250
2 750 125 -125 y 125
3 875 62 -62 y 62
4 937 31 -31 y 31
5 968 16 -16 y 16
6 984 8 -8 y 8
7 992 4 -4 y 4
8 996 2 -2 y 2
9 998 1 -1 y 1
10 999 0 0 y 0

මෙලෙස එකතු කළ යුතු හෝ අඩු කළ යුතු අර්ධයන් ගණනය කිරීමේ දි ගත යුත්තේ ආසන්නම ඉහල ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාව බව මෙම වගුවල දැක්වෙන අර්ධයන් පරීක්ෂා කිරීමෙන් පැහැදිලි වේ.

උදාහරණයක් ලෙස 250 න් අර්ධය 125 වන අතර 125 අර්ධය 62 ය. ඇත්ත වශයෙන්ම එය 62.5 වුව ද එය 63 ලෙස නොගනී.

එමෙන්ම 62 න් අර්ධය සෘජුවම 31 කි. ඒ ගැන ගැටළුවක් නැත.

නැවත 31 න් අර්ධය 15.5 වුවද එය ආසන්න ඉරට්ටේ සංඛ්‍යාව වන 16 ලෙස ගෙන ඇත.

ද්විමය සංඛ්‍යා ආශ්‍රයෙන් ඕනෑම දශම සංඛ්‍යාවක් ලිවීමට හැකි නම් එහි විලෝමය ‍ඕනෑම සංඛ්‍යාවක් ගොඩ නැගීමට භාවිතා කර ඇති සැටි පෙනේ.

මෙම වගු නිර්මාණය කරන්නට උපයෝගි කරගත් එක්සෙල් ෂීට් [Excel Sheet] එක අවශ්‍ය කෙනෙකුට ඊමේල් මගින් ලබා ගත හැකිය. එහි ඔව් නෑ තිරැවට අදාල පිළිතුර යෙදීමෙන් සිතු සංඛ්‍යාව දෙවන සිරස් තීරැවෙ පහලින් බලාගත හැකිය.

chullaganitha@googlemail.com

වැඩි ද?

Published by Ganithaya under on 12:31 AM

ඔන්න ගණිත විජ්ජා කතාවක් කියන්නයි හදන්නේ. හැබැයි මේක ගණිත විජ්ජා කතාවක් කීවට එහෙම අර අනිත් කතා වගේ කතා රසයක් නම් තියෙයි කියලා කියන්න බැහැ. ඒත් ඉලක්කම් විජ්ජා අජීර්ණ අයට ඒක ජීරණය කරගන්න එහෙම නැත්නම් ගණිතය අප්පිරිය අයට ඒක විනෝදයක් කරගන්න පුංචි තල්ලුවක් දෙන්නයි මේ කතා ලිවීමේ පැහැදිලි අරමුණ.

ඒ කියන්නේ ගණිත විජ්ජා වලිනුත් යම් කිසි සාහිත්‍ය රසයක් උපද්දවන්න දරණ අපරිමිත උත්සාහයක්...

බයිනරි කීවම කැලෑ නරි ‍වගේ මතකයක් නැගෙන කාට හරි පුංචි විනෝදයක් ලබන්න තමයි මේ ලියැවිල්ල හා හා පුරා කියලා පුංචි ගණිත සෙල්ලමක් ගැන ලියන්න හිතුවේ.

තව එකක්. අපි නිතර කරන සෙල්ලමක් තියෙනවා නේද ඔව් නෑ බෑ කියලා?

අපි මේ සෙල්ලමට ඔව් නෑ විතරක් ගත්තොත් ඒක හරියටම බයිනරි සෙල්ලමක් වෙනවා.

හැබැයි මේ බයිනරි සෙල්ලම කරන්නේ පොඩි මැජික් එකක් පෙන්වන්න කියල කීවත් අවුලක් නැහැ. කාටත් හොඳට හුරැයිනෙ ඉලක්කමක් හිතන්න කියල ඒක කියන සෙල්ලම්?

අන්න ඒ ව‍ගේ සෙල්ලමක් මේක හැබැයි ඉලක්කම හිතන කෙනාට අර අනිත් සෙල්ලම්වල වගේ එකතු කරන්න අඩුකරන්න වැඩි කරන්න බෙදන්න වගේ වැඩ නැහැ.

තියෙන්නේ එකම දෙයයි. අහන ප්‍රශ්න වලට ඔව් හෝ නෑ කියන එක විතරයි. ප්‍රශ්ණ අහන කෙනා තමයි ගණන් හදලා එයාගේ හිතේ තියෙන ඉලක්කම කියන්නේ. වැඩේ සරලයි නේද?

උදාහරණයක් විදියට මම මේක ගන්නම්...

ඔන්න කෙනෙක් හිතනවා 956.


හැබැයි හිතන ඉලක්කම 1000ට අඩු වෙන්න ඕන...ප්‍රශ්න 10ක් අහල සොයන්න නම් එහෙම සීමාවක් පනවන්න වෙනවා...ඒකට හේතුවත් පස්සේ කියනවා.

දැන් මම අහන්නේ මෙන්න මේ වගේ ප්‍රශ්න ටිකක්. හැබැයි ප්‍රශ්න 10 ක් අහද්දි මම හිතපු ඉලක්කම කියනවා.

500ට වැඩි ද? ඔව්
750ට වැඩි ද? ඔව්
875ට වැඩි ද? ඔව්
937ට වැඩි ද? ඔව්
968ට වැඩි ද? නෑ
952ට වැඩි ද? ඔව්
960ට වැඩි ද? නෑ
956ට වැඩි ද? නෑ
954ට වැඩි ද? ඔව්
955ට වැඩි ද? ඔව්

956ට අඩු 955ට වැඩි නම් උත්තරය 956!

දැං මම අහන මේ ඉලක්කම් හැදුනේ කොහොමද කියල කියන්නේ පස්සේ...පුළුවන් කාට හරි උත්සාහ කරන්න රහස සොයාගන්න...

ආයුබෝවන්!

Published by Ganithaya under on 9:50 PM
සාදරයෙන්

ගණිත කතා කියන්නයි අසන්නයි මේ සූදානම...

ගණිතයට හිතැති -හිත නැති -විස නැති -මිසදිටු දනන් ද ආ හැකි -නොහැකි අය වෙත කරැණා හිතැති -අගණිත ගණිත විස්කම් සොයන්නට මෙහි ආ ගිය හැකි බව සාදරයෙන් දන්වා සිටිමි!

ආදරණීය
චුල්ල ගණිතයා


 

Followers